Transferencia de Calor: 4-2 CONDUCCIÓN DE CALOR EN RÉGIMEN TRANSITORIO EN PAREDES PLANAS GRANDES, CILINDROS LARGOS Y ESFERAS CON EFECTOS ESPACIALES

Se considera la variación de la temperatura con el tiempo y la posición en problemas unidimensionales, como los asociados con una pared plana grande, un cilindro largo y una esfera.

La transferencia de calor se lleva a efecto entre cuerpos y sus medios ambientes por convección, con un coeficiente de transferencia de calor h uniforme y constante. Note que los tres casos poseen simetría geométrica y térmica:

- La pared plana es simétrica con respecto a su plano central (x =0)

- El cilindro es simétrico con respecto a su línea central (r=0)

- La esfera es simétrica con respecto a su punto central (r =0).

Éste crea un gradiente de temperatura en la pared y se inicia la conducción de calor desde las partes internas de ella hacia sus superficies exteriores. Note que la temperatura en el centro de la pared permanece en Ti hasta t =t2 y que el perfil de temperatura dentro de ella permanece simétrico en todo momento con respecto al plano central. El perfil de temperatura se hace más y más aplanado conforme pasa el tiempo como resultado de la transferencia de calor y llega el momento en que se vuelve uniforme en T = T∞. Es decir, la pared alcanza el equilibrio térmico con sus alrededores. En ese punto, la transferencia de calor se detiene, ya que deja de existir una diferencia de temperatura.

PROBLEMA DE CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL, EN FORMA ADIMENSIONAL

La conducción de calor para la determinación de la distribución unidimensional transitoria de temperatura en una pared plana, un cilindro o una esfera conduce a una ecuación diferencial en derivadas parciales:

Nota: la forma apropiada del tiempo adimensional es ґ =αt/L², el cual se conoce como número de Fourier, Fo, y se reconoce Bi _ k/hL como el número de Biot.

La formulación del problema de conducción transitoria unidimensional de calor en una pared plana se puede expresar en forma adimensional como:

La ecuación de conducción de calor en coordenadas cilíndricas o esféricas se puede expresar en forma adimensional de manera semejante.

La expresión en forma adimensional reduce el número de variables independientes y de parámetros:

SOLUCIÓN EXACTA DEL PROBLEMA DE CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIMENSIONAL*

Se aplicará el método de separación de variables desarrollado por J. Fourier, en 1820, se basa en el desarrollo de una función arbitraria (incluida una constante) en términos de series de Fourier. El método se aplica al suponer que la variable dependiente es un producto de varias funciones, en donde cada una de ellas es función de una sola variable independiente.

El método es aplicable si:

1. La configuración geométrica es sencilla y finita (como un bloque rectangular, un cilindro o una esfera), de modo que las superficies de frontera se puedan describir por medio de funciones matemáticas sencillas.

2. La ecuación diferencial y las condiciones de frontera e inicial, en su forma más simplificada, son lineales y sólo contienen un término no homogéneo (un término sin la variable dependiente ni sus derivadas).

Ahora se demostrará el uso del método de separación de variables, mediante su aplicación al problema de la conducción transitoria unidimensional de calor. En primer lugar, se expresa la función de la temperatura adimensional ϴ(X, t) como un producto de una función sólo de X y una función sólo de ґ, como:

Esta ecuación se conoce como ecuación característica, y sus raíces se llaman valores característicos o eigenvalores (o valores propios).

Se tiene un número infinito de soluciones de la forma Ae ^–γґcos (γX), y la solución de este problema lineal de conducción de calor es una combinación lineal de ellas:

SOLUCIONES APROXIMADAS, ANALÍTICAS Y GRÁFICAS

Existe una motivación clara para simplificar las soluciones analíticas con el fin de presentar las soluciones en forma tabular o gráfica, usando relaciones sencillas.

Hay expresar la solución usando esta aproximación de un término, así:

- Las constantes A1 y λ1 son funciones sólo del número Bi, y en la tabla 4-2 se da una lista de sus valores con respecto al número Bi, para las tres configuraciones geométricas.

- La función Jo es la función de Bessel de primera especie y de orden cero, cuyo valor se puede determinar a partir de la tabla 4-3.

Las relaciones se simplifican para dar las siguientes en el centro de una pared plana, un cilindro o una esfera:

Para quienes prefieren la lectura de gráficas en lugar de la interpolación, se han trazado representaciones de estas relaciones y de las soluciones de aproximación de un término, conocidas como gráficas de temperaturas transitorias. Éstas son tres gráficas asociadas con cada configuración geométrica:

- La primera es para determinar la temperatura To en el centro de la configuración, en un instante dado t.

- La segunda permite determinar la temperatura en otros lugares, en el mismo instante, en términos de To.

- La tercera sirve para determinar la cantidad total de transferencia de calor hasta el instante t.

La temperatura del cuerpo cambia de la temperatura inicial Ti a la de los alrededores T∞ al final del proceso transitorio de conducción de calor. Por lo tanto, la cantidad máxima de calor que un cuerpo puede ganar (o perder si Ti > T∞) es sencillamente el cambio en el contenido de energía del cuerpo. Es decir:

Si se usan las relaciones apropiadas de temperatura adimensional basadas en la aproximación de un término para la pared plana, el cilindro y la esfera, para la fracción de transferencia de calor en esas configuraciones geométricas:

Nótese que una vez que se ha determinado la fracción de transferencia de calor, Q/Qmáx, a partir de estas ecuaciones.

Recuerde que un valor pequeño de Bi indica que la resistencia interior del cuerpo a la conducción de calor es pequeña en relación con la resistencia a la convección entre la superficie y el fluido, Bi < 0.1, el error en suponer que la temperatura dentro del cuerpo es uniforme resulta despreciable.

Para comprender el significado físico del número de Fourier, ґ, se expresa como: